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tailwisdom's blog

tailwisdomのじゆうちょう

掛け算の順序問題について

時事

かけ算の順序問題 - Wikipedia

掛け算順序問題派閥チャート

 なんか定期的に話題になっている気がするけれど、一向に議論が収束する気配が見えないので、せっかくなので僕も口を挟んでみる。
 実はこの問題、ググるとけっこうな議論の蓄積があるようだけれど、このエントリでは、そうした過去の議論はほとんど踏まえられていない。だので、周回遅れの議論になっている可能性もあるし、そもそも論点がずれている可能性もある。
 基本的には、「世の人もすなる「掛け算樹序問題への言及」といふものを、われもしてみむとてするなり」といったスタンスだ。

順序問題とは何か。

 「掛け算の順序問題」とはどういうものか。それは、文章題の立式作法の問題である。例題をあげよう。

問.みかんの入った袋が3袋あります。1つの袋には、みかんが5個入っています。
みかんは全部で何個あるでしょう?

答えは15個だが、順序問題で重要なのは、答えではなく立式である。
この問題からは、「5×3」と「3×5」という立式があり得る。*1

このとき、「5×3」が正解であって、「3×5」は不正解であるとするのが、「順序があるよ派」の主張である。
彼らの主張によると、掛け算の立式というのは「1つのまとまりの数×まとまりの数」で表現されねばならず*2、この場合は、「1袋にみかんが5つ」が「1つのまとまりの数」であって、「袋が3つ」が「まとまりの数」である。したがって正しい立式は「5×3」となるそうだ。

これに対して、「5×3」でも「3×5」でもどちらでも良い、というのが「順序はないよ派」の主張である。
根拠としては、「順序を固定する根拠が無い(から順序はない)」と言うもののほか、「乗法には交換法則がある」というものが主流のようだ。

掛け算の計算について(交換法則は自明だよね)

 「掛け算には順序あるよ派」の人も、別に乗法の交換法則に対して異議申立てをしているわけではない*3。計算時に掛け算の交換法則が成り立つこと自体は認めている。
 というか、交換法則自体は証明可能なので、異議があるなら反証を挙げれば済む話であって、現状のようなややこしい議論はならない。
 かけ算の順序問題がこんなにもこじれているのは、おそらくその問題が数学的に定義可能な問題からはみ出ているためだ(というのが、僕の認識だ)。

順序問題の論点はなにか(文章と数式の変換の問題)

 かけ算の順序が問題になるのは、あくまでも文章題を数式に落としこむときのみだ。言い換えれば、問題になっているのは文章を数式に変換する際に、数値の属性が保存されるか否か、という点だ。一度数式に変換されてしまえば、その後は交換法則が適用されるため、当然、かけ算の順序は問題でなくなる。
 「順序あるよ派」の主張は、文章から数式に変換される際には、数値の持つ属性(1つのまとまりの数/まとまりの数)がかけ算の順序として表現されるべきだ、というもので、「順序ないよ派」の主張は、そんな情報は保存されない、というものだ。突き詰めるて考えると、この問題は文章題の立式の際に、どこまで情報が削ぎ落とすのか、という問題だといえるかもしれない。

立式とは抽象化である。

 文章題を数式に置きかえるとき、すなわち「1袋にみかんが5つ入っていて、袋は3つある」という文章を「5×3」と書き換えるとき、何が起こっているのか。
 そこでは、具体的な情報を計算可能な記号に抽象化する操作が行われている。先の問題で問われているのは、要するに「全部で何個か」ということであり、袋に入っているのがみかんであろうとりんごであろうと、あるいはみかんをまとめているのが袋であろうと箱であろうと、「全部で何個か」という部分には関係がない。したがって、こうした問題に応えるために不要な情報をそぎ落とし、必要な部分だけを最低限の記号で表現したものが、「5×3」、あるいは「3×5」である*4

抽象化によって情報は消える(変換の不可逆性)

 冒頭の例題に戻り、「1袋にみかんが5つ入っていて、袋は3つある」という情報を「5×3」と変換したとしよう。このとき、変換された数式から、どの程度情報が読み取れるだろうか。
 まず、「みかん」とか「袋」と言った情報は完全に消えている。「1皿にりんごが5つ乗っていて、皿が3枚」でも「5×3」だし、「縦5センチ、横3センチの長方形の面積」でも「5×3」だ。逆に言うと、「5×3」という数式から「1袋にみかんが5つ入っていて、袋は3つある」という文章を一意に特定することは不可能だ。その意味で、文章題から数式への変換は不可逆だ。

 さらにここで、「順序ないよ派」の立場を取ると、「5×3」でも「3×5」でも構わないため、かけ算の順序は情報を持たない。他方、「順序あるよ派」の立場を取ると、「5×3」という立式からは、「1つのまとまりの数」が5で、「まとまり」が3つあるということが読み取れる。
 ……かというと、実はそうでもない。というのも、世の掛け算には「1つのまとまりの数×まとまりの数」で表せないものが存在するためだ。例えば、先の長方形の面積。長方形の「縦」とか「横」とか言った区別は相対的なもので、長辺と短辺のどちらが縦でどちらが横といった決まりはない。したがって、「縦×横」と「横×縦」といった順序を区別することはできない。あるいは、「質量5kgも質点が、3m/sで移動している。質点の運動量はいくらか」という問いに対して、質量と速度のどちらが「1つのまとまりの数」でどちらが「まとまりの数」であるかを決定することはできない。
 したがって、「5×3」という数式から解釈できることは『「1つのまとまりが5のまとまりが、3つある」もしくは、「1つのまとまりの数×まとまりの数」という形で表現できないものが、5×3だけある』ということで、やはり文章を一意に特定できてはいない*5

 また、「順序あるよ派」の立場に立ったとしても、数式内の掛け算の順序が情報を持っているのは、立式直後の数式のみであり、その後、交換法則の適用を受けたりすると(あるいは、「交換法則の適用を受けた可能性がある」状態になると)、順序は意味を失う。
 いずれにしても、かけ算の順序が持つ情報というのは、非常に不安定なものだ。

ということで、順序にこだわる意味なくない?

 以上をまとめると、「文章題を数式に変換した時点で文章題の情報はほとんどが脱落するため、掛け算の順序を固定したところで意味はない」となる。別の言い方をすると、「文章を数式に抽象化する際に、「1まとまりの数」「まとまりの数」といった数値の属性情報はほぼ欠落するため、かけ算の順序は情報を持たない」となる。
 意味が無いのであれば、わざわざ順序を固定する必要はないと思うし、ましてや順序が違うことを理由に立式をバツにする根拠もないと思う。

余談1.「足が2本のタコ」だと思ってるのは教師だけだ、という話。

 asahi.com(朝日新聞社):2×8ならタコ2本足 - 花まる先生公開授業 - 教育
 順序あるよ派の人は、上の記事のような主張をするらしい。
 すなわち、「タコの足は8本です。タコが2匹いたら、足は全部で何本ですか」という問題に対しては「8×2」([本/匹]×[匹])が正解で、「2×8」は不正解だというのだ。その説明として、「2×8では、2本足のタコが8匹いることになります」と説明するらしい。しかし、それは「掛け算に順序あること」の説明としては成立していない。
 前述の問題に「2×8」と答えた生徒は、別に2本足のタコを想像したわけではなくて、かけ算の順序という規則を(そういう規則があるとして、)理解していないだけだ。したがって、そうした誤答(順序あるよ派の立場から見た誤答)を正す際に教師に求められるのは、「掛け算の立式には順序があること」と、「順序がどのように決められているかということ」の説明であって、「掛け算は「1まとまりの数×まとまりの数」という順序で立式しなければならない」ということを自明のものとして「2本足のタコ」が云々という話をすることではない*6。というかそもそも、「2×8」という数式から「2本足のタコが8匹」という文章に一意に遡行することは不可能だ。その生徒は、「一箱に2つのキャンディが入った箱が8つある」という文章を想像して「2×8」と立式したかもしれないではないか*7

 このタコの話は、「掛け算に順序がある」ことを前提とした場合、順序を取り違えると文章に再変換したときに文意が変わる、という主張なので、そもそも「掛け算に順序がある」という規則を理解していない、あるいは納得していない生徒を指導する場合には例として不適だ。そうした生徒には、「なぜ掛け算に順序があるのか」を説明するべきだろう。

余談2.理解度を知りたいだけなら、他の方法があるんじゃないか。

 「掛け算に順序がある」なんて主張がそもそもどこから出てきたのかはわからないが、一つの理由として、「問題文に出てきた数字を適当に立式している生徒を識別するため」というものは考えられる。
 掛け算のテストでは原則として掛け算の問題ばかりが出てくるので、問題文を読まずとも、文中に出てきた数字をとりあえず掛けておけば、たいてい正解になってしまう。これでは、文章を数式に抽象化する能力を判別することができない。そこで、「掛け算には順序がある」という規則を導入することで、文中の数字を掛けただけの答案(「1つのまとまりの数」と「まとまりの数」を区別できていない答案)はその一部をバツにすることができる*8
 もちろん、「掛け算に樹所がある」という主張が正当なものでなければ、こんな採点基準は認められない。

 文中の数字を適当に立式する、という回答を弾くためには、「掛け算以外の問題(足し算や引き算)」を混ぜるか、「文章題の中に、立式に使わない数字」を混ぜるのが手っ取り早いようにおもう。後者の例としては「みかんが3つ、りんごが4つ入った袋が5袋あります。みかんは全部でいくつですか」とか、「2つの箱のなかに、それぞれ3つずつ袋が入っています。袋の中にはそれぞれキャンディが5つ入っています。(1)袋は全部でいくつですか (2)1つの箱には、いくつキャンディが入っていますか」とか。

余談3.というか、順序が違うという理由でバツをもらった記憶が無い。

 冒頭の派閥チャートからもわかるように、実は「順序あるよ派」「順序ないよ派」の中にもいくつかの派閥がある*9
 そのチャートを見ると、「順序あるよ派」の中に「期間限定派」という派閥があって、その人達は、ある期間は便宜上順序があるとして教えたほうが良い、という立場のようだ。まぁ、そういう柔軟さはあっても良いと思う*10
 他方、期間限定派以外の人というのは、かけ算の順序には常に意味があると考えていて、例えば日常生活においても立式の順序を気にしたりするのだろうか。例えば、帳簿は常に「単価×数量」で記載されねばならないのだろうか*11。その場合、3つ以上の数の掛け算はどうなるのだろうか。例えば、「体積V[m3]、密度ρ[kg/m3]、比熱C[J/K/kg]の物質の温度をT[K]上昇させるのに必要な熱量はいくらか」という問題にはどのように立式するのだろうか(そしてその立式はどのようなロジックに基づいているのだろうか)。
 気になる気もするし、どうでもよい気もする。
 というか、式の意味をはっきりさせたいときは式に単位を付して書いたらいいと思う。

*1:「5+5+5」とか、「3+3+3+3+3」とか言った立式も、美しくはないけれど、あるにはある。

*2:「1つのまとまりの数」とか「まとまりの数」というのも曖昧な表現だけれど、これは単位が[a/b]×[b]の形にならねばならない、という意味だと考えられる。例題で言えば、5[個/袋]×3[袋]だ。

*3:行列などの演算では乗法の交換法則は必ずしも成り立たないけど、そういう話でもない

*4:前の節で「5+5+5」や「3+3+3+3+3」が美しくないと書いたのは、「最低限の記号で」という部分に抵触するかもしれないためである。ただ、「5+5+5」や「3+3+3+3+3」には抽象化として意味があるのでまだよいが、これが「5×3×1」とか「5+5+5+4-4」とかになると、明らかに無意味な操作が加わっているため、(少なくともそうした操作の根拠を説明されない限り)立式として誤りだと思う

*5:さらにいうと、仮に「1つのまとまりが5のまとまりが、3つある」と解釈できたとして、それになんの意味があるのか、というそもそもの疑問は残る

*6:というか、例題とともによくある誤答を紹介するのでなく、実際に生徒に解かせ、誤答した生徒の回答を取り上げて揶揄するという指導方法自体のに問題があると思うが、それは別の問題なのでここではこれ以上触れない

*7:冗談です

*8:たまたま順序が合う場合もあるので、全部をバツにすることはできない

*9:まぁ、このチャート自体冗談みたいなものなのだけれど

*10:高校物理では、量子論はひとまず置いておいて古典力学から習うのと同じようなものかもしれないし。

*11:ちなみに、グーグル画像検索で「単価×数量」、「数量×単価」でググったら、どちらの例もあった